Скачать учебник алгебра 7 класс бевз на русском

Dating > Скачать учебник алгебра 7 класс бевз на русском

Download links: → Скачать учебник алгебра 7 класс бевз на русском → Скачать учебник алгебра 7 класс бевз на русском

Дальше уже несложно закончить решение системы. Составьте таблицу для случаев, когда п равно 10, 20,... Является ли это соответствие функцией?

В предыдущих классах на уроках математики вы приобретали в основном знания по арифметике, получали расширенные сведения о числах и действиях над ними. Готовимся к тематическому оцениванию. Всегда ли уравнение первой степени с одной переменной имеет корни? Пастуха, который вёл 70 быков, спросили: «Какую часть быков своего стада ты ведёшь? Его также можно выносить за скоб1139. Приведите примеры разложения многочлена на множители с использованием нескольких способов. Чему равно произведение суммы двух выражений на их разность? РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 153 1 700. В его пустые клетки впишите такие числа, чтобы их суммы в каждой строке, в каждом столбце и в каж- , дой диагонали были равными. Упростите выражение: 3 + х 3 - х + х.

Общие сведения об уравнении. Если многочлен содержит больше трёх членов, то надо попробовать'сгрупнировать их и к каждой группе применить п. Одночлены 74 Задания для самостоятельной работы 81 Готовимся к тематическому оцениванию 82 § 10.

Скачать книгу Бевз Г.П., Бевз В.Г. - Алгебра. 7 классс - Чему равна сумма кубов двух выражений? Что означает «решить уравнение»?

«Зодак-ЕКО» 2007 ВБК 22. Продажа запрещена Переведено с издания: Г. Никакие часть, элемент, идея, композиционный подход этого издания не могут быть скопированы или воспроизведены в любой форме и любыми способами — ни электронными, ни фотомеханическими, а именно ксерокопирования, записи или компьютерного архивирования, — без письменного согласия издателя. Бевз, 2007 © Перевод на русский язык. Колмагорова, 2007 © Издательство «Зод1ак-ЕКО», 2007 © Художественное оформление. Виксенко, 2007 © Концепции: структуры, дизайна. Кузнецов, 2001 ISBN 978-966-7090-46-3 укр. Общие сведения об уравнении........ Решение задач с помощью уравнений.... Сложение и вычитание многочленов...... Умножение многочлена на одночлен...... Вынесение общего множителя за скобки. Использование формул сокращённого умножения.............................. Разность и сумма кубов............... Применение разных способов разложения многочленов на множители.... Уравнения с двумя переменными........ Решение задач составлением системы уравнений............................ Алгебра — часть математики. В предыдущих классах на уроках математики вы приобретали в основном знания по арифметике, получали расширенные сведения о числах и действиях над ними. Теперь начинаете изучать алгебру. Знание алгебры необходимо не только потому, что она предлагает нам лучшие методы решения сложных задач, но и потому, что в ней формируется математический язык, которым пользуются специалисты разных областей науки и техники. Алгебра — весьма содержательная и нужная дисциплина. Вы будете изучать её до окончания школы, а кое-кто — ив высших учебных заведениях. Начать изучение курса школьной алгебры вам поможет этот учебник. Читая теоретический материал, основное внимание обращайте на слова, напечатанные курсивом. Желательно понять, что эти слова означают, и запомнить их. Выделенные жирным шрифтом предложения — это правила или другие важные математические утверждения, их следует помнить и уметь применять. Каждый параграф учебника содержит рубрику «Хотите знать ещё больше? », в которой предлагаются дополнительные сведения для учеников, особо интересующихся математикой. Отвечайте на вопросы рубрики «Проверьте себя», и вы сможете закрепить, обобщить и систематизировать приобретённые знания, умения и навыки, полученные при изучении темы. В рубрике «Выполним вместе! » приведены образцы решений основных видов упражнений. Предлагаем ознакомиться с этими примерами, прежде чем делать домашние задания они обозначены Ш. Учебник содержит упражнения разных уровней сложности — от устных до достаточно сложных. Хорошо'подгбто-виться к тематическому оцениванию и достичь высоких учебных результатов вам помогут материалы соответствующей рубрики. «Исторические сведения» расширят кругозор каждого ученика. Желаем успехов в учёбе! Уравнение - одно из важнейших понятий не только математики, но и многих прикладных наук. Это наиболее удобная математическая модель, наилучшее средство для решения сложнейших задач. Образно говоря, уравнение — это ключ, которым можно отворять тысячи дверей в неизвестное. Уравнение — это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Неизвестные числа в уравнении называют переменными. Переменные чаще всего обозначают буквами х, у, z икс, игрек, зет , хотя их можно обозначить и другими буквами. Каждое уравнение имеет левую и правую части. Говорят, что «число 5 удовлетворяет данное уравнение». Решить уравнение — это означает, что надо найти все его корни или показать, что их не существует. Простейшие уравнения можно решать, пользуясь известными зависимостями между слагаемыми и суммой, между множителями и произведением и т. В данном случае неизвестно вычитаемое. Здесь неизвестный множитель х. Уравнение — это своеобразный кроссворд. Только в клеточки кроссворда вписывают буквы, чтобы получить нужные слова, а в уравнение вместо переменных подставляют числа, чтобы получались правильные равенства. Какое число надо поставить в квадратики, чтобы получилось верное равенство? Это числа 3 и -3. Это и есть корни данного уравнения. Какое число, возведённое в куб, равно 8? Таковым является число 2. Что такое корень уравнения? Что означает «решить уравнение»? Из каких двух частей состоит уравнение? Если его умножить на 3, от результата отнять 4, то получим 5. Какое число я задумал? Обозначим искомое число буквой х. Если умножить его на 3, то получим Зх. Отняв от результата 4, получим Зх - 4. Составьте и решите задачу, пользуясь рисунком 1. Если задуманное число умножить на 3, потом прибавить 18, то получим 63. Если его умножить на 7, а от произведения отнять 16, то получим 33. Какое число я задумал? Решите уравнение и выполните проверку 33—35. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 13 ъ ш ш Решите задачу с помощью уравнения 39—43. Найдите ширину прямоугольника, если она втрое короче длины, а периметр прямоугольника равен 60 см. Найдите длину прямоугольника, если она вдвое длиннее ширины, а периметр прямоугольника равен 50 см. Сторона одного квадрата в 2 раза меньше стороны второго, а разность их периметров равна 50 см. Найдите длину стороны большего квадрата рис. Сколько лет дедушке, если он говорит, что если бы прожил ещё столько и полстолька, то ему было бы 200 лет? Отцу 34 года, а дочери — 12. Через сколько лет дочь будет вдвое младше отца? Пастуха, который вёл 70 быков, спросили: «Какую часть быков своего стада ты ведёшь? Он ответил: «Я веду две трети от трети скота». Сколько быков было у пастуха? Решите задачу несколькими способами, в частности, воспользовавшись рисунком 3. Поделите число 300 на три части, пропорциональные числам 2, 3 и 5. Каждое из них имеет один и тот же корень: х- 5. Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Равносильными считают и такие уравнения, которые не имеют корней. Покажем, как это делается. Из распределительного закона умножения следует, что при любом значении х числа 2х + 5хи7х равны. Из распределительного закона следует, что при каждом значении д: числа 3 х - 5 и Зх- 15 равны. Вообш;е, если в любой части уравнения свести подобные слагаемые или раскрыть скобки, то получим уравнение, равносильное данному. Прибавив к обеим частям верного числового равенства одно и то же число, получим также верное равенство. Подобно этому тела с равными массами, положенные на чаши уравновешенных весов, не нарушают равновесия рис. Вообще, если из одной части уравнения в другую перенести любой его член с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному. Вспомним также, что обе части числового равенства можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Поэтому если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. I Всегда справедливы такие основные свойства уравнений. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то число, отличное от нуля. В результате таких преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному. Сформулированные свойства часто используют для решения уравнений. От названия книги об уравнениях узбекского математика IX в. Мухаммеда аль-Хорезми Мухаммеда из Хорезма. В те далёкие времена отрицательные числа не считались настоящими. Поэтому когда в результате перенесения отрицательного члена уравнения из одной его части в другую этот член становился положительным, считалось, что Он восстанавливался, переходил из ненастоящего в настоящий. Такое преобразование уравнений Мухаммед аль-Хорезми назвал восстановлением аль-джебр. Со временем её перевели на латинский нзык, взяв для названия только одно слово, которое стали писать Algopr. Отсюда и пошло название науки — алгебра. Преобразование «аль,-джебр» стало важным шагом в развитии алгебры, так как упростило решение уравнений. Глава 1 А 70 Какое число надо прибавить к 207 и 33, чтобы первая сумма была в 4 раза больше второй? Сумма двух чисел равна 120. Если одно из чисел поделить на 5, а второе — на 3, то первое частное будет равно второму. Разность двух чисел равна 12. Известно, что 0,3 первого ; равны 0,7 второго. Сумма двух чисел равна 425. Известно, что 20 % первого из них равны 30 % второго. На первом складе угля в 2 раза больше, чем на втором. Если на первый склад привезти еш;ё 84 т угля, а на второй — 140, то на обоих складах его станет поровну. Сколько угля на каждом складе? В первом баке бензина вдвое больше, чем во втором. Если перелить из первого бака во второй 17л бензина, то в каждом из них бензина станет поровну. Сколько литров бензина в каждом баке? Заполните магический квадрат рис. В его пустые клетки впишите такие числа, чтобы их суммы в каждой строке, в каждом столбце и в каж- , дой диагонали были равными. Разложите на множители число: а 80; 6 1024; в 1001. Вычислите: f 6 9 4,3 — + ц1 -2,25 43 5 : 2,75 Рис. Напишите в виде выражения: а полусумму чисел m и л; в полуразность чисел 2х и Зг. На сколько процентов число 40 больше числа 32? На сколько процентов число 32 меньше числа 40? Линейное уравнение может не иметь корней, иметь один или бесконечное множество корней. Решая уравнение, его сначала стараются упростить, свести к линейному. Делают это преимуш,ественно в такой последовательности. Избавляются от знаменателей если они есть. Раскрывают скобки если они есть. Переносят члены, содержащие переменные, в левую часть уравнения, а не содержащие — в правую. В результате такого преобразования получают уравнение, равносильное данному; его корни являются также корнями данного уравнения. Если коэффициенты уравнения многозначные, его удобно решать, пользуясь калькулятором. Найденное значение корня — приближённое. Точное значение пришлось бы записать в виде смешанной дроби, а именно 2—. I Хотите знать ещё больше? Соотношение между этими двумя видами уравнений наглядно проиллюстрировано на рисунке 7. Ниже приведём примеры линейных уравнений, которые не являются уравнениями первой степени. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ Рис. Проверьте себя I 1. Какие уравнения называют линейными? Какие уравнения называют уравнениями первой степени? Сколько корней может иметь линейное уравнение? Сколько корней может иметь уравнение первой степени? Найдите два числа, полусумма которых вдвое больше их полуразности, которая равна 35. Если полуразность чисел равна 35, то разность будет вдвое больше, а именно — 70. Обозначим меньшее число буквой X, тогда большее будет равно 70 -Е х. Правильна ли схема, изображённая на рисунке 8? ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 25 Решите уравнение 99—103. Одно число больше другого на 6. Если первое умножить на 5, а второе — на 4, то первое произведение будет больше второго на 40. Ьдно число больше другого в 6 раз. Если от большего из них отнять 37, а к меньшему прибавить 73, то результаты будут равны. Найдите два числа: а сумма которых равна 155, а разность — 91; б разность которых равна 47, а полусумма — 46. Какое число больше своей третьей части на? Найдите такое число х, чтобы: а сумма чисел х и 15 была в два раза больше их разности; б сумма чисел х и 1,5 была равна их произведению. Найдите такое число т, чтобы: а полуразность чисел дг и 14 составляла 0,2 их полусуммы; б полусумма чисел дг и 14 составляла 120 % их разности. Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше, чем первый, третий — втрое больше, чем второй, четвёртый — вчетверо больше, чем третий, а все вместе дали 132. Летели гуси,д навстречу им гусь; «Здравствуйте, сто гусей! Ему ответили: «Нас не сто. Вот когда бы — мы, и ещё столько, и полстолька, и четвёртая часть столька, вот тогда вместе с тобой нас было бы сто». Задача из болгарского фольклора. На вопрос, сколько весит его рыба, рыбак ответил: «Хвост весит 150 г, голова — столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище — сколько голова и хвост вместе» рис. Для каждого из пунктов а—г определите, при каких значениях коэффициента k уравнение; 1 имеет единственный корень; 2 не имеет корней; 3 имеет бесконечное множество корней. Для каждого из пунктов а—в допишите после знака равенства вместо точек такое выражение, чтобы образовалось уравнение, которое: 1 имеет единственный корень; 2 не имеет корней; 3 имеет бесконечное множество корней. Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел. Найдите: а 20 % от 350; б 30 % от 56 000; в 12 % от 0,75; г 125 % от 1,4; д 15 % от 124 грн. §4, РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ Чтобы решить задачу с помощью уравнения, сначала надо составить соответствующее этой задаче уравнение. Образно говоря, надо перевести задачу с обычного языка на язык алгебры, то есть составить математическую модель данной задачи. Как это можно сделать, покажем на нескольких примерах. На двух токах 1000 т зерна. Сколько зерна на каждом току, если на первом его на 200 т меньше, чем на втором? Пусть на первом току х т зерна. I h 1000 - у II h 4- 200 1000 1000 Рис. Если на втором току есть у т зерна, то на первом 1000 - у т рис. В математике прикладными называют задачи, условия которых содержат нематематические понятия. Модель всегда подобна оригиналу. В ней отображаются те ил и иные важные свойства исследуемого объекта. Такими являются уменьшенные модели автомобиля, самолёта, строения. Глобус — модель Земли, кукла — модель человека. Если модель создана на основе уравнений, формул или других математических понятий, её называют математической моделью. Для решения задач на движение также используют разные модели. При этом все значения величин следует выражать в соответствующих единицах измерения. Например, если врш мя дано в часах, а расстояние — в километрах, то скорость надо выражать в километрах в час. Если тело движется при наличии течения, то его скорость движения по течению против течения равна сумме разности его собственной скорости и скорости течения. Для решения некоторых сложных задач требуется построение нескольких моделей. Рассмотрим задачу, составить уравнение к которой помогает таблица — ещё один вид математических моделей. Найдите расстояние между городами. Построим таблицу и заполним её в соответствии с условием задачи. Решив задачу с помощью уравнения, нужно всегда анализировать полученное значение неизвестного. Может получиться, что найденный корень уравнения не соответствует условию задачи. Найдите его стороны, если одна из них короче другой на 2 см, а третьей — на 6 см. Пусть длина самой короткой стороны треугольника равна X см. Тогда длины других сторон соответственно будут равны х -f 2 см и х -Е 6 см. Если длина первой стороны 3 см, то вторая и третья соответственно будут равны 5 и 9 см. Существует ли треугольник с такими сторонами? Задача не имеет решения. Покажем, например, как можно заполнять пустые клеточки магиче СКОРО квадрата — таблицы чисел с одинаковым количеством строк столбцов, с одинаковой суммой чисел во всех строках, столбцах и п диагоналям. Обозначим буквой х число в правой верхней клеточке Тогда сумма всех чисел первой строки будет равна 5 + б + х, или 11 + д Такими же должны быть суммы и в каждой диагонали, и в среднем столбце поэтому в нижней строке следует написать 4, х - 2, х - 1 рис. Подставим вместо х его значение 10, после чего пустые клеточк рисунка 14 заполнить нетрудно. Какие бывают математические модели? МИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 31 Выполним вместе! Решите математический кроссворд рис. В кружки следует вписать два числа так, чтобы их сумма была равна 200, а разность — 10. Если второе число обозначим буквой х, то первое будет равно 200 - х. Ответ на рисунке 16. Найдите два числа, сумма которых равна 3, а разность — 1. Найдите два числа, одно из которых в 4 раза больше другого, а их сумма равна 10. Если из него вычесть 7 и результат разделить на 3, то получим 5. Какое число задумал учени! Найдите расстояние между городами А и В, если: а «Славута» и «Таврия», выехавшие из них одновременно навстречу друг другу, встретились через 2 ч рис. Сумма двух чисел равна 13,6, а разность — 1,6. Решите математические кроссворды рис. Сумма двух чисел равна 105, их отношение — 1:2. Найдите число, половина которого больше его третьей части на 0,5. Отец в 5 раз старше сына, а сын на 32 года младше отца. Сколько лет каждому из них? Поле плош;адью 430 га поделено на две части так, что одна из них на 130 га больше другой. Найдите площадь каждой части. Верёвку длиной 84 м разрезали на две части, одна из которых втрое длиннее другой. Найдите длину каждой части. Верёвку длиной 25 м разрезали на две части, одна из которых на 50 % длиннее другой. Найдите длины этих частей верёвки. Бригада должна была изготовить детали за 5 дней, а выполнила работу за 4 дня, так как изготовляла каждый день на 12 деталей больше. Сколько деталей изготовила бригада? Периметр прямоугольника равен 118 см, одна его сторона на 12 см длиннее другой. Найдите длины сторон прямоугольника. Три тракториста вспахали вместе 72 га. Первый вспахал на б га больше второго, а второй — на 9 га больше третьего. Сколько гектаров вспахал каждый тракторист? В трёх классах 79 учеников. Во втором — на 3 ученика больше, чем в первом, а в третьем — на 2 ученика меньше, чем в первом. Сколько учеников в каждом классе? В трёх корзинах 56 кг яблок. В первой корзине на 12 кг меньше, чем во второй, а в третьей — вдвое больше, чем в первой. Сколько килограммов яблок в каждой корзине? Составьте и решите задачу, воспользовавшись рисунком 21. Поле площадью 860 га поделено на 3 участка так, что сумма площадей двух первых участков равна площади третьего, а площадь второго участка в 1,5 раза больше площади первого. Из букета цветков лотоса принесли в жертву: Шиве — третью часть, Вишну пятую, Солнцу — шестую. Одну четверть получил Бхавани, а остальные 6 лотосов отдгили глубокоуважаемому учителю. Сколько было цветков в букете? На вопрос, сколько учеников учится в школе, Пйфагор ответил: «Половина всех учеников изучают математику, четверть — музыку, седьмая часть — молчат и, кроме того, есть ещё три женщины». Сколько тогда было учеников у Пифагора? Отцу — 40 лет, а сыну—10. Через сколько лет отец будет втрое старше сына? Сколько лет любимцу Какаду, если в прошлом, помнится, году, он был вдвое старше Бегемотика, а теперь — всего лишь на два годика? Найдите расстояние между двумя пристанями, если рейс туда и обратно катер совершает за 5 ч. Найдите расстояние между двумя пристанями, если в одном направлении катер проходит его на полчаса быстрее, чем в противоположном. Пассажирский поезд за 3 ч проходит на 10 км больше, чем товарный за 4 ч. Велосипедист ехал 2 ч по грунтовой дороге, 1ч — по асфальтированной и проехал 28 км. Найдите расстояние от станции до турбазы. Сумма двух чисел равна 100. Если большее из них разделить на меньшее, то частное будет равно 4 и в остатке — 5. Число рабочих одного цеха относится к числу рабочих другого цеха, как 8 : 5. Число рабочих I цеха относится к числу рабочих II цеха, как 3:2. Если из I цеха во II перейдут 8 рабочих, то предыдущее отношение изменится на такое: 5:6. Сколько рабочих будет в каждом цехе? Матери — 38 лет, а дочери — 12. Когда дочь была или будет втрое младше матери? Мать на 20 лет старше сына, а их года относятся, как 7:2. Сколько лет матери и дочери, если в позапрошлом году дочь была младше матери в 5 раз, а в следующем будет младше в 4 раза? Сумма цифр данного двузначного числа равна 8. Если цифры поменять местами, то получится число на 18 больше данного. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к образованному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633. Если к трёхзначному числу слева приписать цифру 8 и к образованному четырёхзначному числу прибавить 619, то сумма будет в 40 раз больше данного трёхзначного числа. Если к двузначному числу приписать справа и слева цифру 4, то образованное число будет в 54 раза больше данного двузначного. Найдите это двузначное число. В двух ящиках — 112 кг яблок. Если из первого ящика перенести во второй 30 % яблок, то во втором станет в 3 раза узе Глава 1 162. Ш 161 16в 167 168. Сколько килограммов яблок было в каждом ящике сначала? Владелец магазина поднял цену на музыкальные диски на 25 %, но из-за такой высокой цены спрос на товар упал. Это заставило владельца уменьшить новую цену на 25 % , после чего стоимость диска составила 24 грн. Какова была начальная цена музыкальных дисков? Скорость катера в стоячей воде относится к скорости течения реки, как 25 : 2. По течению катер шёл 3 ч 50 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы возвратиться обратно? Поезд проходит расстояние от А до В за 3 ч. Найдите расстояние между А и В. Найдите расстояние между портами К п Р. Из двух городов, расстояние между которыми 450 км, одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля и встретились через 3 ч. Из городов А и В, расстояние между которыми 210 км, одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля и встретились через полтора часа. Найдите скорость каждого автомобиля, если до встречи первый автомобиль проехал на 30 км больше, чем второй. Из двух сёл, расстояние между которыми 36 км, навстречу друг другу должны выехать два велосипедиста. Если они выедут одновременно, то встретятся через 1,5 ч. Если же второй выедет на полчаса позже первого, то они встретятся через 1,25 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста. Найдите расстояние между А и В. Из Киева в Одессу выехал автобус, а через 20 мин вслед за ним — легковой автомобиль, который через 1 ч догнал автобус. Торговая организация приобрела две партии товаров за 25 000 грн. Сколько заплатила организация за каждую партию, если первая принесла 25 % прибыли, а вторая — 50 %? Сплав меди с серебром общей массой 15 кг содержит 45 % меди. Сколько чистого серебра нужно прибавить к нему, чтобы полученный сплав содержал 30 % меди? Из 1 т руды, содержащей некоторое количество железа, извлекли 400 кг примесей. Хотя в этих примесях было 12 % железа, в остатке руды содержание железа повысилось на 20 %. Какое количество железа осталось в руде? УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 174. Вычислите значение выражения: а 1-2,7 + 2,4; б -2,4 + -2,3 ; в 1-10,51: 7 - 3,2; г 4,8 - 13,21 :1-0,81; Д 200. Вы забыли первую цифру номера телефона своего знгпсо-мого. Какова вероятность того, что сразу, как только наберёте наугад первую цифру, вы позвоните именно ему? Найдите число, если: а 20 % его равны 344; б 125 % его равны 4 800; в 2,5 % его равны 640. Матери — 35 лет, а дочери — 12. Через сколько лет дочь будет младше матери вдвое? Отцу — 42 года, а сыну — 10. Когда отец был старше сына в 5 раз? Сестре — 7 лет, а брату — 17. Когда сестра была или будет втрое младше брата? Брату — 5 лет, а сестре — 14. Когда брат был или будет вдвое младше сестры? Египетские учёные почти четыре тысячи лет тому назад искомое неизвестное число называли «аха» в переводе — «куча» и обозначали специальным знаком. Теперь бы мы сформулировали её так: «Сумма неизвестного числа и его седьмой части равна 19. Подобные задачи умели решать учёные Древней Греции, древних Индии, Китая. Древнегреческий математик Диофант Ш в. От фамилии аль-Хорезми происходит ещё один важный для современной науки термин — алгоритм. Так называют совокупность правил, пользуясь которыми можно решить любую задачу из определённого класса задач. Например, известный вам способ умножения чисел «столбиком», способ определения наибольшего общего делителя двух или нескольких чисел — это алгоритмы. В современной науке понйтие «алгоритм» играет огромную роль, существует даже специальная область математики — теория алгоритмов. Подробнее с алгоритмами вы ознакомитесь в старших классах. Сначала алгеброй называли науку, изучающую различные способы решения уравнений. Со временем она значительно расширилась, обогатилась новыми идеями. Теперь уравнение — только одна из составляющих алгебры. Числа, удовлетворяющие уравнение, — его корни. Решить уравнение — это значит найти все его корни или показать, что их не существует. Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными друг другу. Любой член уравнения можно перенести и'ЗДЭгДнбЙ части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Обе части уравнения можно умножить или разде-. Линейное уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней или не иметь ни одного корня. Решение прикладных задач методом математического I моделирования состоит из трёх этапов: и 1 создание математической модели данной задачи; 2 решение соответствующей математической задачи; 3 анализ ответа. Что такое корень уравнения? Что означает «решить уравнение»? Из каких двух частей состоит уравнение? Какими буквами чаще всего обозначают переменные? Какие уравнения называют равносильными? Сформулируйте основные свойства уравнений. Какое свойство уравнений раньше называли словом «аль-джебр»? Откуда происходит название науки «алгебра»? Какие ещё кроме алгебры есть части математики? Сколько корней может иметь линейное уравнение? Всегда ли линейное уравнение имеет корки? Какие уравнения называют уравнением первой степени с одной переменной? Всегда ли уравнение первой степени с одной переменной имеет корни? Сколько корней может иметь уравнение первой степени? Придедите пример линейного уравнения, которое не является уравнением первой степени. Зачем надо уметь решать уравнения? Приведите пример задачи и её математической модели. Какими бывают математические модели? Из каких этапов состоит решение задачи методом математического моделирования? Составьте уравнение, которое имеет: а один корень б два корня; в множество корней. Два ученики собрали вместе 29 кг ягод. Сколько ягод собрал каждый ученик, если у первого ученика на 5 кг больше, чем у второго? Лодка шла по течению реки 2,4 ч, а против течения — 3,2 ч. Путь, который лодка прошла по течению; оказался на 13,2 км длиннее пути против течения. Найдите корни уравнения 1 - Зх -f 2 5. Найдите все значения а, при которых корен! Математический язык — это язык выражений. Чтобы овладеть им, надо научиться оперировать математическими выражениями, понимать их содержание, уметь записывать в удобном виде. Существуют разные виды математических выражений. Левая и правая его части 2 ¥ Каждое из этих выражений содержит одну переменную х. Но бывают выражения с двумя, тремя и большим количеством переменных. В математике выражения с переменными играют очень важную роль. Математический язык — это язык выражений. Неслучайно значительная часть школьного курса алгебры Посвящена изучению выражений. Бывают выражения и без переменных, например: 97 17, -- :45; 5 0,2-3-15:7 2 3,5 -1,8 Такие выражения называют числовыми. Далее мы будем рассматривать преимущественно выражения с переменными. ВЫРАЖЕНИЯ ЧИСЛОВЫЕ : с с ПЕРЕМЕННЫМИ Рис. А выражение с переменными при разных значениях этих переменных может принимать разные значения. Для примера найдём значения выражения За + 5, если а равно 1, 2, 3 и -4. Если выражение не содержит никаких других действий, кроме сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления, его называют рациональным выражением. Примеры рациональных выражений: f' 1 А V. Два первых из указанных выше выражений — целые, другие — дробные. В этой главе мы будем рассматривать только целые выражения. Читают их и так: «сумма чисел а и 6», «разность чисел а и 6» и т. Математическими выражениями считаются также отдельные числа или переменные, например 2, О, х, -а. Число, возводимое в степень, называют основанием степени. Число, показывающее, в какую степень возводят основание, называют показателем степени. Показатель степени 1 не принято писать. Основанием степени может быть и дробное число, и отрицательное. Чтобы возвести в степень отрицательное число, надо возвести в эту степень модуль этого числа и перед результатом поставить знак «плюс», если показатель степени чётный, или «минус» — если показатель степени нечётный. L Для любых чисел а и Ь и произвольного натурал! Используя свойства степеней с целыми показателями, можно упростить выполнение действий с любыми числами, записанными в стандартном виде. Сформулируйте основное свойство степени. Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Как возводить в степень степень? Как возводить в степень дробь? Выполните устно Упростите выражение 297—298. ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 7ШИ Представьте произведение в виде степени 301—302. Выполните возведение в степень 304—305. Сравните значение выражений 308—309. Представьте в виде степени произведение 319—321. Что такое коэффициент одночлена? Когда говорят, что одночлен записан в стандартном виде? Как перемножить два одночлена? Как одночлен возвести в степень? Что называют степенью одночлена? ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 771 2. Выполните умножение одночленов, чтобы заполнить таблицу: а 2а -Зах Шаг 1 335. ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 79У 348. Заполните пустые клеточки такими степенями переменной а, чтобы произведения степеней в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали были тождественно равными рис. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 362. Найдите: а сумму длин всех рёбер куба, если она больше периметра его грани на 18 см; б площадь поверхности и объём этого куба. В саду росли яблони и вишни, причём яблони составляли 40 % всех деревьев. Вишен было на 64 больше, чем яблонь. Сколько деревьев росло в саду? Сколько среди них было вишен? ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 81 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОаОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Вариант 1 1°. Возведите в квадрат выражение 0,3ад:. Запишите число 27 500 000 000 в стандартном виде. Запишите число 17 770000000 в стандартном виде. Запишите число 350000000000 в стандартном виде. Запишите число 98 790 000 000 в стандартном виде. Представьте одночлен в виде степени 625jc : а 5;сТ; б 5хУ; в bxf; г 5;с « 3. При каком р верно равенство а 1; 6 0; в 2; г 4? При каком значении d выражения 9 х - 3 - 2 3х +5 и dx - S7 являются тождественными: а -3; 6 3; в -4; г 4? Вычислите: а 18 1 2 2 б 1—т п. МНОГОЧЛЕНЫ в математике часто приходится складывать или вйчитать одночлены. Например,7х + 2а — сумма, а 7х - 2а — разность одночленов 7х и 2а. Сумму нескольких одночленов называют многочленом. Каждое слагаемое многочлена называется его членом. Например, многочлен 2ху - 5х -Ь 6 содержит три члена: 2ху, -5х и 6. Если многочлен содержит два слагаемых, он называется двучленом, три — трёхчленом. Одночлен также считается отдельным видом многочлена. Существуют целые выражения, не являющиеся многочленами. Связи между упоминавшимися выражениями иллюстрирует рис. Приведя их, получим двучлен 11л: - 5, который тождественно равен данному трёхчлену. Считают, что многочлен записан в стандартном виде, если все его члены — одночлены стандартного вида и среди них нет подобных. На основе законов действий см. Члены многочлена можно записывать в разной последовательности. В основном их упорядочивают по убывающим показателям степени той или другой переменной. Наи- больший показатель степени переменной х равен трём, поэтому такой многочлен называют многочленом третьей степени относительно х. Тогда это будет многочлен четвёртой степени относительно переменной а. С I Хотите знать ещё больше? Иногда отвечают на этот вопрос утвердительно, так как согласно распределительному закону умножения данное выражение тождественно равно двучлену ас + Ьс, а значит, и оно является двучленом. В алгебре выражения принято называть в зависимости от того, как они записаны, а не от того, как их можно записать. Если, исходя из этого, выражение 8а называть и одночленом, и двучленом, и трёхчленом и т. Поэтому в алгебре договорились выражения называть так, как они записаны, а не так, как их можно записать, выполнив те или другие тождественные преобразования. V86 Глава 2 Проверьте себя 1. Приведите примеры двучлена, трёхчлена, четырёхчлена. Какие члены многочлена называются подобными? Можно ли одночлен считать видом многочлена? Когда говорят, что многочлен записан в стандартном виде? Два велосипедиста одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу. За f ч первый велосипедист проехал at км, а второй — Ы км. Итак, всё расстояние равно {at + Ы км или а -Ь b t км. За 1 ч велосипедисты приблизились на а + 6 км, к моменту встречи через t ч они проехали а + b t км. Это и есть искомое расстояние. Ответ, а + b t км. Определите площадь фигуры, изображённой на рисунке 32, если каждое их четырёх её отверстий — квадрат со стороной, равной с. Запишите в виде многочлена число, имеющее: а а тысяч, Ь сотен, О десятков и с единиц; б а десятков тысяч, Ь сотен, с десдтков и О единиц. Запишите в виде двучлена число, которое от деления на число т: а даёт частное 43 и остаток 2; б даёт частное 5 и остаток г. Запишите в виде многочленов ответы К задачам 384—391. Сколько килограммов муки в обоих мешках вместе? Один килограмм картофеля стоит т грн. Сколько надо вместе заплатить за 8 кг картофеля и 4 кг капусты? Из куба, ребро которого равно За, вырезали два прямоугольных параллелепипеда, как показано на рисунке 33. Найдите объём и площадь поверхности оставшегося многогранника. Книга стоит а грн. Сколько надо заплатить вместе за 3 книги и Рис. На машину нагрузили т мешков пшеницы, п мешков гречки и один мешок сахара. Найдите массу всего груза, если масса одного мешка пшеницы а кг, гречки — Ъ кг, а сахара — 50 кг. На сколько километров они приблизятся за полчаса, двигаясь навстречу друг другу? Найдите расстояние от города до села. Из городов А и В одновременно в одном направлении выехали автомобиль и мотоцикл. Найдите расстояние от А до В, если автомобиль догнал мотоцикл через 1,5 ч. Определите периметры фигур, изображённых на рисунке 34. Определите площади фигур, изображённых на рисунке 35. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ h —. Даны выражения Зле и 5у. Запишите: а разность их квадратов; б квадрат их разности; в сумму их квадратов; г квадрат их суммы. Рабочий получил путёвку в санаторий со скидкой 90 % и заплатил за нее 360 грн. Какова полная стоимость путёвки? Если в найденной сумме есть подобные члены, их следует привести. Так же складывают три и более многочленов. Чтобы найти разность двух многочленов, надо из первого многочлена вычесть второй. Выполняя такое задание, после первого многочлена пишут знак «минус», а второй берут в скобки. Найдите разность многочленов аЬ + с - 4и 2аЪ + с - 3. Сумма и разность произвольных многочленов члены. Глава 2 много- Хотите знать ещё больше? Она может иметь несколько членов, быть равной любому числу, в частности и нулю. Прибавь- о те, например, у двучлену 4с-5л: последовательно двучлены с + 1, о с + 5х, 5х - 7, 5л - 4с и убедитесь в этом. Так как многочленами считают и одночлены, и любые числа, в том числе нуль, то сумма любых многочленов является многочленом. Поэтому говорят,' что во множестве многочленов сложение и вычитание всегда возможно. Как вычитают из одного многочлена второй? Всегда ли сумма нескольких многочленов является многочленом? Сформулируйте правила раскрытия скобок. Как вы понимаете утверждение, что во множестве многочленов действия сложения и вычитания всегда возможны? Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных чисел всегда делится на 3. Обозначим произвольное натуральное число буквой п. Тогда следуюш;ие за ним натуральные числа будут тг-Ь 1 и д-Ь 2. ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 93 Числа 3 и Зп при каждом натуральном п делятся на 3. Итак, какое бы ни было натуральное число п, сумма п + п + 1 + п +2 всегда делится на 3. Что и требовалось доказать. Если п — второе из трёх последовательных ; целых чисел, то первое из них я - 1, а третье — п+ 1. Докажите, что разность чисел аЪс и сЪа делится на 99. Запишем каждое из чисел в виде многочлена, найдём их разность и приведём подобные слагаемые. Значит, абс - сЬа делится на 99. Найдите сумму и разность выражений: а 0иа + с + х; б аиа + с + л:; в а + си а + с-х. Вы«1нсл:ите значение выражения 405—406. При каком значении t значение трёхчлена - 2t + 1 на 2 о больше значения двучлена Г + 5? В хозяйстве было 305 коров и тёлок. После того как количество коров увеличилось на 15, а тёлок — на 90, тёлок стало в 4 раза больше, чем коров. Сколько в хозяйстве стало коров? Сумма двух чисел равна 60. Если одно из них умножить на 2, а другое — на 7, то сумма произведений будет равна 70. Сколько купили тетрадей и сколько — блокнотов? Одна сторона прямоугольника в 4 раза больше другой. Одна сторона прямоугольника больше другой в 3 раза. Одно из двух чисел в 6 раз больше второго. Если мень-, шее из них увеличить на 5, то их произведение увеличится на 75. Три года назад отец был старше сына в пять раз, а теперь — в четыре. Сколько лет ученику, если известно, что через 10 лет он будет в 5 раз старше, чем был 10 лет тому назад? В одной бочке 99 л бензина, а во второй — 57 л. Из первой каждый день берут по 12 л, а из второй — по 10 л. Через сколько дней в первой бочке бензина станет в 3 раза больше, чем во второй? В ОДНОМ сосуде 84 г кислоты, а во втором — 12 г. Сколько кислоты нужно перелить из первого сосуда во второй, чтобы в первом её стало в два раза больше, чем во втором? {УП1МОКНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ V............ Из букв, написанных на отдельных квадратных карточках, составлено слово ЦИВИЛИЗАЦИЯ. Потом эти карточки перевернули, перемешали и наугад взяли одну. Какова вероятность того, что на ней написана буква: а «Ц»; б «И»; в «Я»? Перерисуйте в тетрадь рисунок 39 и заполните его пустые клеточки так, чтобы подучился магический квадрат. I Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член рто-рого многочлена и полученные произведения сложить. Умножать многочлены можно двумя способами, которые соответствуют таким схемам: а -I- Ь -f с +... Если нужно выполнить умножение более двух многочленов, то сначала умножают первые два из них, потом полученный 106 Глава 2 результат умножают на третий многочлен и т. Для примера ' 2 2 выполним умножение многочленов х-а, х + аих -а. Хотите знать ещё больше? Ведь если стороны прямоугольника соответственно равны а + Ъ + сж х + у, то его площадь будет равна: а + Ы- с х + у , или ах + Ьх + сх + ау + by + су. Итак, эти два выражения тождественно равны. Обратите внимание: если трёхчлен умножить на двучлен, то в результате будем иметь шестичлен. Только после приведения подобных слагаемых количество членов произведения может уменьшиться. Сформулируйте правило умножения многочлена на од-; ночлен. Как можно перемножить три многочлена? Сколько членов может иметь многочлен, равный произ- ведению двух двучленов? ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 1071 Выполним вместе! Выполните умножение многочленов 2х + 3 иа- х. Упростите выражение: 4а - 2ах - 2а - 1 2 - л:. Раскройте скобки в выражении: а х+1 х+1 ; б 1--у 1-у ; е 2 - а с + 1. Представьте в виде многочлена 477—480. Пользуясь правилом умножения многочленов и рисунком 41, докажите тождество: а + Ь {с + d -ac + ad + bc + bd. Какое доказательство более общ,ее? Представьте в виде многочлена 492—495. На какое число надо увеличить каждый из четырёх множителей, чтобы новые произведения были равны друг другу? На какое число надо уменьшить каждый из четырёх множителей 25-51и31-40, чтобы новые произведения были равны друг другу? Найдите сумму, разность я произведение много- О О Членова -Ьа-Зиа-2. Упростите выражение: 3 + х 3 - х + х. Упростите выражение: 25 - 5 - с 5 + с. Вариант III 2 1°. Упростите выражение: - 2+ р 2 - р. Вариант IV 2 1°. Найдите сумму, разность и произведение многочленов 4- 2с 4-1 и 4- 3. ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 1131 ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Выражения с переменными появились тогда, когда числа начали обозначать не только цифрами, но и буквами. Первые такие обозначения встречаются у Диофанта Ш в. Не сразу установились для обш;его употребления и знаки действий. Египтяне действия сложения и вычитания обозначали рисунком, подобным двум ногам, идущим в разных направлениях. Они писали справа налево. Степени чисел и выражений раньше называли, пользуясь словами квадрат и куб. Некоторые европейские математики XV в. «плюс» и «минус» обозначали буквами р и т — первыми буквами латинских слов plus и minus. Знаки «Ч-» и «-» ввёл в 1489 г. Вид-ман, знак умножения х — У. Первая книга по математике, напечатанная в России,— «Арифметика» Л. В ней двучлены, которые теперь принято писать 2л: -f 1 и Зх - 2, записывались так: 2Д -I-1 и ЗД 2. Квадрат переменной обозначался буквой q, коэффициент 1 не опускался. Умножать такие выражения предлагалось столбиком. Скобки для записи математических выражений европейские математики начали употреблять в XVI в. Сначала ввели квадратные скобки, позже — круглые и фигурные. Ещё до середины XX в. Современные математические термины и символы хорошо упорядочены намного удобнее прежних. Если выражение не содержит никаких других действий, кроме сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и деления, его называют рациональным выражением. Рациональное выражение, не содержащее действия деления на выражение с переменной, называют целым выражением. Два целых выражения, соответствующие значения которых равны при любых значениях переменных, называют тождественно равными, или тождественными. Два тождественно равных выражения, соединённые знаком равенства, образовывают тождество. Простейшие выражения — числа, переменные, их степени или произведения. Чтобы выполнить умножение одночленов, между ними ставят знак умноясения и полученное произведение приводят к одночлену стандартного вида. Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель одночлена и найденные степени перемножить. Сумму нескольких одночленов называют многочленом. Для удобства каждый одночлен также считают многочленом. Складывая многочлены, пользуются правилом раскрытия скобок. Чтобы умножит ъ многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на данный одночлен и результаты сложить. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и подученные произведения сложить. ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ 1151 Вопросы для самопроверки 1. Приведите примеры числовых выражений и выражений с переменными. Какие выражения называют рациональными? Какие выражения называют целыми? Приведите пример выражения с модулями. Что такое степень; основание степени; показатель степени? Что такое тождественное преобразование выражений? Каждое ли тождество является равенством? Каждое ли равенство является тождеством? Какие выражения называют тождественно равными, или тождественными? Сформулируйте основное свойство степени. Сформулируйте правило умножения степеней. По какому правилу возводят в степень степень? По какому правилу возводят в степень произведение? Как возводить в степень дробь? Что такое одночлен стандартного вида? Что такое коэффициент одночлена? Что называют степенью одночлена? Сформулируйте правило возведения в степень одночлена. Что такое многочлен; трёхчлен; двучлен? Какие члены многочлена называют подобными? Как записывают многочлены в стандартном виде? Сформулируйте правило умножения многочлена на одночлен. Сформулируйте правило умножения многочленов. Глава 2 ГОТОВИМСЯ к ТЕМАТИЧЕСКОМУ ОЦЕНИВАНИЮ 2 ч 3 ; г - Ж. Упростите выражение 2а + ЗЬ + 7Ь - За - 8а - 66 : а 13а - 46; б -9а + 166; в 7а - 166; г -32а + 46. Расстояние между пристанями А и В лодка проходит по течению за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Докажите, что значение выражения; ЗаЬ + 6 2а + Ъ а -Ь 5 - 3а 3б + 4а не зависит от значения переменных. Ковалевская 119Ш1 Разложение многочленов на множители — операция, обратная умножению многочленов. Как вы уже знаете, решая разные задачи, иногда умножают два или более чисел, а иногда — раскладывают данное число на множители. Подобные задачи возникают и при преобразовании целых алгебраических выражений. На множители раскладывают и многочлены. Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену. Один из способов разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки. Каждый член многочлена ах + ау имеет общий множитель а. Это означает, что данный многочлен ах + ау разложен на два множителя: а и д: -I- у. Г 120 Ч' Глава 3 Чтобы убедиться, правильно ли разложен многочлен на множители, нужно выполнить умножение полученных множителей. Если всё верно, то в результате должен получиться данный многочлен. Иногда приходится раскладывать на множители и выражения, имеющие общий многочленный множитель. Например, в выражении а Ь - с + х Ь - с общий множитель Ь - с. Его также можно выносить за скоб1139. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 1251 547. Сын в 3 раза младше отца. Сколько лет отцу, если он старше сына на 28 лет? На грузовую машину нагрузили в 4 раза больше груза, чем на прицеп. Сколько центнеров нагрузили на прицеп, если на нём было на 12 ц меньше, чем на машине? На грузовую машину нагрузили в 4 раза больше груза, чем на прицеп. Сколько центнеров нагрузили на машину, если на машину с прицепом вместе нагрузили 40 ц? Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель аЬ -Ь ас -Ь хЬ + хс. Вынесем из первой группы за скобки общий множитель а, из второй — общий множитель х, получим выражение а Ь -Ь с -1- х{Ь -Ь с. Слагаемые этого выражения имеют общий множитель Ь + с, вынесем его за скобки, получим Ь + с а + х. Такой способ разложения многочленов на множители называют способом группировки. Получили такой же результат. Записывать сумму а Ч- с в виде 1 а Ч- с необязательно, но сначала, чтобы не допускать ошибок, можно писать и так. Подобные преобразования также можно выполнять, используя тождества, приведённые в упражнении 578. Разложите на множители многочлены, приведённые в таблице. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 153 1 700. Разложите на множители выражение 714—715. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 155 721. Поставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы получилось тождество: ,2к2. Поставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы получилось тождество:. Разность квадратов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 144. Сумма двух чисел равна 34, а разность их квадратов — 408. Разность двух чисел равна 21, а разность их квадратов — 1155. УПРАЖИШИЯ ДЛЯ повто 737. Найдите отношение: а полуразности чисел — и — к их сумме; о 3 «л 116 б суммы чисел — , — и — к их произведению. В школе на шесть отличников седьмых классов выделено две одинаковые путёвки в детский лагерь отдыха. Сколькими способами можно распределить путёвки между этими отличниками? Поэтому доказанную формулу словами читают так: L разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их сумма. С помощью доказанных формул можно раскладывать на множители многочлены, являющиеся разностями или суммами кубов. И58 Глава 3 Хотите знать ещё больше? Проверьте себя Какое выражение называют неполным квадратом суммы? А неполным квадратом разности? Чему равно произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности? Чему равно произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы? Чему равна разность кубов двух выражений? Чему равна сумма кубов двух выражений? Разложите на множители двучлен: а 8 - 27xV; б -а® + Решение. Найдите произведение многочленов: л: - х у + у их + у. Чему равен неполный квадрат суммы выражений а и с? Чему равен неполный квадрат разности выражений о и с? Разложите на множители двучлен: а п -Д; б с + 8. Представьте в виде многочлена 745—747. Разложите на множители двучлен 748—754. Представьте в виде многочлена 755—757. Представьте в виде многочлена 762—766. Выполните умножение многочленов 767—768. Разложите на множители выражение 7б9—770. Докажите, что разность кубов двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 всегда даёт в остатке 1. Докажите, что разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел при делении на 24 всегда даёт в остатке 2. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 163 781. Докажите, что если сумма двух натуральных чисел делится на какое-то число, то и сумма их кубов делится на то же натуральное число. Фирма взяла в банке кредит — 500 000 грн. Определите, сколько гривен фирма должна возвратить банку через 2 года и какую прибыль получит банк. Начертите на координатной плоскости четырёхугольник с вершинами в точках А 1; 0 , В 1; 3 , С 5; 3 , D 5; 0. Найдите его периметр и площадь. Решите математические кроссворды, представленные на рисунках 50—52. Сначала за скобки вынесен общий множитель а, потом выражение в скобках разложено на множители по формуле разности квадратов. Чтобы разложить на множители более сложные многочлены, приходится применять несколько известных способов или искусственные приёмы. В этом случае можно использовать такое правило-ориентир. Вынести общий множитель если он есть за скобки. Проверить, не является ли выражение в скобках разностью квадратов, разностью или суммой кубов. Если это трёхчлен, то проверить, не является ли он квадратом двучлена. Если многочлен содержит больше трёх членов, то надо попробовать'сгрупнировать их и к каждой группе применить п. Разложите на множители двучлен + 4. Что означает «разложить многочлен на множители»? Какие вы знаете способы разложения многочленов на множители? По каким формулам можно раскладывать многочлены на множители? Приведите примеры разложения многочлена на множители с использованием нескольких способов. Последнее произведение делится на 31, поэтому делится на 31 и равное ему данное числовое выр ажение. V166 Глава 3 Выполните устно Разложите на множители многочлен 787—789. Разложите на множители многочлен 795—800. Приведите пример двучлена, который является одновременно разностью квадратов и разностью кубов. Разложите его на множители. Разложите на множители многочлен 802—812. Представьте выражение в виде квадрата двучлена: 815. Докажите, что при каждом значении х выражение имеет только отрицательное значение: а 6х-х®-10; б х-х®-1; в 2х-х®-2. При каких значениях х выражение имеет наименьшее 818. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 1694 821. В какой форме удобнее представлять такие выражения, чтобы вычислять их значения на калькуляторе? Разность квадратов двух нечётных чисел делится на 4. Разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8. Разность квадратов двух последовательных чётных чисел на 8 не делится. Квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1. Ц70 Глава 3 835. При каких значениях а значение выражения 8а - 4а + о + 2а -1: а равно 0; б равно значению выражения 4а + 1? При каких значениях х сумма квадратов выражений X + 1 и X - 1: а на б больше квадрата их полусуммы; б на 84 больше их произведения? Докажите тождество: х®+ 1. Найдите сторону меньшего квадрата. На новогодний бал четыре подруги пошли со своими братьями: Андреем, Борисом, Виктором и Геннадием. Первый танец каждая танцевала не со своим братом: Катя — с Андреем, Лида — с братом Марии, Нина — с братом Лиды, Борис — с сестрой Виктора, а Виктор — с сестрой Андрея. Q R 7 Докажите, что число 7+7+7 делится на 57. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 1731 ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Франсуа Виет Наибольший вклад в развитие алгебраической символики внёс известный французский математик Ф. Виет, которого называли «отцом алгебры». Он часто использовал бук- 2 2 венные обозначения. Вместо х,х ,х писал соответственно iV, Q,C — первые буквы латинских слов Numerus число , Quadratus квадрат , Cubus куб. Виет зЕшисывал так: 1C -Ь 5Q - 4JV aequ. Степени чисел продолжительное время не имели специальных обозначений, четвёртую степень числа а записывали в виде произведения аааа. Позднее такое произведение начали записывать а4,. Формулы сокращённого умножения древним китайским и греческим математикам были известны за много веков до начала нашей эры. Записывали их тогда не с помощью букв, а словами и доказывали геометрически только для положительных чисел. Подобным способом обосновали и другие равенства, которые мы теперь называем формулами сокращённого умножения. В учебнике рассмотрены простейшие формулы сокращённого умножения. Разложение многочленов на множители — это преобразование, обратное умножению многочленов. Схематично эти две операции можно изобразить, например, так. Что означает « разложить многочлен на множители »? Назовите важнейшие способы разложения многочленов на множители. Объясните на примере суть способа вынесения общего множителя за скобки. Из какого закона действий следует алгоритм вынесения общего множителя за скобки? Объясните на примере, как разложить многочлен на множители способом группировки. Чему равен квадрат суммы двух выражений? Чему равен квадрат разности двух выражений? Может ли быть отрицательным числом квадрат разности двух чисел? Может ли быть отрицательным числом разность квадратов двух чисел? Чему равно произведение суммы двух выражений на их разность? Чему равна разность квадратов двух выражений? Чему равен куб суммы двух выражений? Чему равен куб разности двух выражений? Какое выражение называют неполным квадратом суммы двух выражений? Какое выражение называют неполным квадратом разности двух выражений? Чему равно произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы? Чему равно произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности? Чему равна разность кубов двух выражений? Чему равна сумма кубов двух выражений? По каким формулами можно раскладывать многочлен на множители? Приведите примеры разложения многочлена на множители несколькими способами. При каком значении х выражение х + 4х + 4 имеет наименьшее значение: а 2; б -4; в -2; г б? Выражение делится на: а 5; б 6; в 7; г 9. Разложите на множители многочлен: а у? Исследование процессов и явлений с помо-ш;ью функций — один из основных методов современной науки. Вы будете изучать функции во всех последующих классах и в высших учебных заведениях. §21 ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ? Площадь квадрата зависит от длины его стороны. Каждому значению длины стороны квадрата соответствует единственное значение его площади рис. Каждому значению объёма V куска мела соответствует единственное значение его массы т. Каждому значению массы груза, подвешенного на пружине, соответствует определённая длина пружины рис. Каждому значению температуры воздуха t соответствует единственное значение высоты h столбика ЖИДКОСТИ; в термометре. Примеров зависимостей и соответствий между переменными можно привести многок Для науки и практики важно уметь исследовать такие соответствия. Их называют функциональными соответствиями, или функциями. В рассмотренных примерах речь идёт о связи между двумя переменными. Одну из них, значения которой выбирают произвольно, называют независимой переменной, или аргументом. Другую переменную, зависящую от аргуйента, называют зависимой переменной, или функцией. Независимыми переменными аргументами в приведённых выше примерах являются; длина стороны квадрата, объём куска мела, масса груза, температура воздуха. Их значения можно выбирать произвольно. Зависимыми переменными будут: площадь квадрата, масса мела, длина пружины, высота столбика жидкости в термометре. Если каждому значению переменной х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной у, то переменную у называют функцией от X. При таких условиях переменную х называют аргументом функции у, множество D — областью определения функции, а соответствие между л: и у — функциональным соответствием, или функцией. Все значения, которые может принимать аргумент функции, — её область определения. А все соответствующие значения функции — область значений функции £. Например, площадь S квадрата — функция от длины его стороны а. Здесь S — функция, а — аргумент. Область определения этой функции — множество всех положительных чисел. Высота h столбика жидкости в термометре — функция от температуры t. Здесь h — функция, t — аргумент. Пусть, например, на протяжении суток температура воздуха повышалась от -5° до 7°, а высота столбика жидкости в термометре — от 20 до 32 см. Этому изменению соответствует некая функция, областью определения которой является промежуток от -5° до 7°, а областью значений — промежуток от 20 до 32 см. Задавать функциональные соответствия можно разными способами. Часто их задают формулами. Задание функции формулой удобно, так как это даёт возможность находить значение функции для произвольного значения аргумента. Такое задание функции довольно экономно: в основном формула занимает одну строку. Если функцию задают формулой и ничего не говорят об области её определения, то считают, что эта область — множество всех значений переменной, при которых формула имеет смысл. Табличный способ задания функции удобен тем, что для определённых значений аргумента в таблицу уже занесены соответствующие значения функции, поэтому не нужно проводить вычисления. Неудобен он тем, что таблица занимает больше места. Вдобавок, как правило, содержит значения функции не для всех значений аргумента, а только для некоторых. Функцию можно задавать и словесно. Например, если каждому целому числу поставить в соответствие его квадрат, то получим функцию, областью определения которой является множество цел;ых чисел, а областью значений — множество квадратов натуральных чисел и число 0. И82 Глава 4 Хотите знать ещё больше? Например, говорят о функциях старосты класса, функции печени в организме человека. И слово аргумент нередко используют в другом значении. В логике под словом аргумент понимают доказательство, основание, на основе которого устанавливают истинность или ошибочность того или иного суждения. Обратите внимание на соотношение понятий «функциональная зависимость» и «функциональное соответствие» рис. Из рисунка видно, что существуют соответствия, не являющиеся зависимостями. На координатной прямой кроме точек с рациональными координатами существует множество таких точек, координаты которых — числа не рациональные. Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел R. Подробнее с действительными числами и их свойствами вы ознакомитесь в 8 классе. А пока, имея в виду множество действительных чисел, будем использовать термин «все числа». Что такое аргумент функции? Что такое область определения функции? Что такое область значений функции? Как можно задавать функции? Результаты сведите в таблицу. Найдите область определения функции: а. Зависит ли периметр квадрата от длины его стороны? Является ли периметр квадрата функцией от длины стороны квадрата? Задаёт ли эта формула функцию? Задаёт ли эта формула функцию? Какова область её определения? Выразите формулой соответствие между объёмом V куска меди и его массой т. Является ли т функцией от F? Как зависит пройденный автобусом путь s от времени t? Является ли переменная s функцией от t? Является ли переменная S функцией от х? Выразите формулой соответствие между длиной а стороны равностороннего треугольника и его периметром Р. Является ли переменная Р функцией от а? Зависит ли диаметр круга d от его радиуса г? Выразите эту зависимость формулой. Меры смежных углов — а и 3. Задайте формулой зависимость а от р. Является ли а функцией от р? Задайте формулами зависимости А от В и В от А. Являются ли эти зависимости функциями? Каковы их области определения? Найдите значение функции, если х равен: 1; 0; -3; 7; 1000. Соответствие между шестью первыми натуральными числами и их квадратами изображено на рисунке 56. Является ли это соответствие функцией? Какова область её определения? На рисунке 57 изображено соответствие между числами 1, 2, 3,4 и обратными им числами. Является ли это соответствие функцией? Какова область её определения? При каком значении О аргумента значение функции равно 20? Составьте таблицу её значений для первых десяти натуральных значений её аргумента. У мальчика было 5 грн. Он купил х карандашей по 60 к. Задайте формулой функцию, выражающую зависимость у от х. Какова её область определения? Цена 1 кг товара — 2,5 грн. Как зависит стоимость z этого товара от его массы ml Какова стоимость товара, масса которого равна 18 кг? Какова масса товара, если он стоит 125 грн.? Сколько нефти проходит по такой трубе за 3 ч; за i ч? Сколько минут в f ч? Выразите это соответствие формулой. Составьте таблицу для 10 значений аргумента. Запишите формулу функции, если: а значение функции противоположно удвоенному значению аргумента; б значение функции в 5 раз больше значения аргумента; в значение функции на 12 больше уменьшенного вдвое значения аргумента; г значение функции обратно значению аргумента, увеличенному на 4. Задаёт ли эта формула функцию? Какова её область определения? Выразите формулой зависимость пути s, пройденного этим автомобилем, от времени t. На каком расстоянии от города будет турист через 10; 20; 30 мин? Является ли это расстояние функцией от времени? Какова её область определения? На складе было 600 т угля. Каждый день на склад привозили по 40 т угля. Выразите формулой зависимость количества угля т на складе от времени t. Является ли эта зависимость функцией? Ш188 Глава 4 В сумке лежат п одинаковых конфет, из них в красных обёртках на 6 больше, чем в зелёных. Какова вероятность того, что взятая наугад конфета окажется в красной обёртке? Составьте таблицу для случаев, когда п равно 10, 20,... I УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЕ 892. Обозначьте на координатной плоскости точки А 5; 2 , В 3; 2 , С 0; 2 , М - 1; 2 , Щ- 3; 2 , Р 2; 2. Все ли они лежат на одной прямой? Каковы коррдинаты точек, яв-ляюш,ихся серединами отрезков АВ, АС, AM, АН и АР? На двух полках стоят 88 книг. Если с первой полки 3 книги переложить на вторую, то на каждой из них книг станет поровну. Сколько книг на каждой полке? I ФУНКЦИИ 189 ц Ч Плоскость, на которой заданы такие координатные прямые, называют координатной плоскостью, прямую JC — осью абсцисс, прямую у — осью ординат, точку О — началом координат. Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел. Говорят, что точка А имеет координаты 3 и 2. Записывают: А 3; 2. Здесь 3 — a6cifucca, 2 — ордината точки А. Первой всегда пишут абсциссу. Начало координат — О 0; 0. Каждой паре чисел на координатной плоскости соответствует единственная точка. Задайте формулой функцию, значение которой на 4 больше значения аргумента. Задайте формулой функцию, значение которой на 9 меньше значения аргумента. Задайте формулой функцию, значение которой втрое больше значения аргумента. Задайте формулой функцию, значения которой обратны значениям аргумента. Постройте график функции у - -3 + х на множестве натургшьных чисел, меньших 8. Общее понятие функции было введено только в XVII в. Декарт ввёл понятие переменной величины и систему координат, начал рассматривать зависимость ординат точек графика от их абсцисс. Слово «функция» с латинского — действие, выполнение впервые ввёл немецкий математик Г. Функциями он называл абсциссы, ординаты и некоторые отрезки, связанные с точкой, которая в процессе движения описывает определённую линию. Лейбниц — выдающийся немецкий учёный. По образованию — юрист. Работал библиотекарем, историографом, организовал Берлинскую академию наук. Исследовал проблемы математики, философии, языковедения, химии, геологии, конструировал вычислительные машины. Усилиями многих математиков И. Наиболее общее современное определение функции предложила в XX в. Бурба-ки: «Функция — это отношение, при котором каждому элементу области отправления соответствует ровно один элемент области прибытия». Под отношением они понимают соответствие, под областью отправления областью определения фун--кции и областью прибытия областью её значений — любые множества, а не только числовые. С таким общим понятием функции вы ознакомитесь в старших классах. Например, площадь S квадрата — функция от длины его стороны а. Функции можно задавать с помощью формул, таблиц, графиков и т. Графики функций чаще всего строят в декартовой системе координат, состоящей из двух взаимно перпендикулярных координатных осей — горизонтальной оси абсцисс, или оси х, и вертикальной оси ординат, или оси у рис. Плоскость с системой координат называют координатной плоскостью, каждой её точке соответствует одна пара чисел. Например, на рисунке 88 точке А соответствует пара чисел 3; 2 , её координаты записывают так: А 3; 2 , То есть 3 — абсцисса точки А, а 2 — ордината точки А. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Все значения, которые может принимать аргумент функции, образуют её область определения, а все соответствующие значения функции — область значений функции. График каждой линейной функции — прямая. График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат. ФУНКЦИИ 211 Вопросы для самопроверки 1. Что такое аргумент функции? Что такое область определения функции? Что такое область значений функции? Как можно задавать функции? Что такое координатная плоскость? Что такое ось абсцисс? Что такое ось ординат? Что такое начало координат? Что означает запись «М х; у »? Что такое абсцисса точки? Что такое ордината точки? Какая функция называется возрастающей? Какая функция называется убывающей? Что такое график функции? В чём состоит графический способ задания функции? Каждая ли линия на координатной плоскости задаёт функцию? Сформулируйте определение линейной функции. Что является графиком линейной функции? Правильно ли утверждение, что каждая прямая в декартовой системе координат — график некоторой линейной функции? Как построить график линейной функции? Пишем любой двучлен с переменными х и у, например Зх - 5у. Есть много других линейных уравнений с двумя переменными, имеюш;их такое же решение 1; -5. Какие из этих уравнений линейные, а какие — первой степени? Найдите три любых её решения. Для каждого из случаев а—г составьте уравнение с двумя переменными, которое в системе с данным: 1 имеет бесконечно много решений; 2 не имеет ни одного решения; 3 имеет одно решение. При каком значении а система имеет: 1 одно решение; 2 бесконечно много решений? Определите это для каждой из систем а и б. Для каждого из случаев а и б определите, при каком значении Ъ система: 1 не имеет решений; 2 имеет одно решение. Какие вы знаете способы решения системы двух линей-ных уравнений с двумя переменными? Найдите решение системы 1100—1102. Решите систему уравнений 1103—1106. Задача из французского учебника XVI в. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 24V УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 1110. Какой многочлен нужно вычесть из X - Зх + Зх-чтобы получить многочлен Зх + 1? Найдите произведение многочленов 1112—1114. Сначала решим её способом подстановки. Дальше уже несложно закончить решение системы. Да, для этого достаточно сложить левые и правые части уравнений системы. Так как коэффициенты при у — противоположные числа, то члены с переменной у сокращ;а-ются. Поэтому, решая любук подобную систему, вместо под- Г 242 стан Глава 5 становки можно выполнять почленно сложение уравнении. Таким образом решают системы, в которых коэффициенты при какой-либо переменной — противоположные числа. А к такому виду можно свести любую систему линейных уравнений с двумя переменными. Умножим обе части её первого уравнения на 2, а второго — на -3; получим систему, в которой коэффициенты при переменной X — противоположные числа. Уравнения полученной системы равносильны уравнениям данной. Следовательно, она имеет такие же решения, что и данная. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Какие вы знаете способы решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными? Как решают систему двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения? Найдите решение системы уравнений 1147—1148. Напишите уравнения прямых, графики которых изображены на рисунке 99. Задача из трактата XV в. Докажите, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5. Может ли сумма четырёх последовательных натуральних чисел делиться на 4? За 5 блокнотов и 6 тетрадей заплатили 6,9 грн. Сколько стоит один блокнот и одна тетрадь, если 4 блокнота дороже 3 тетрадей на 2,4 грн.? Допустим, что блокнот стоит х грн. За 5 блокнотов заплатили 5л: грн. Вместе за них заплатили 6,9 грн. Так как 4 блокнота дороже 3 тетрадей на 2,4 грн. Переменные л: и у в обоих уравнениях обозначают одни и те же цены. Блокнот стоит 90 к. Эту задачу можно решить также составлением зфавнения с одной переменной. Любую задачу, которая решается составлением системы линейных зфавнений, можно решить и с помощью уравнения с одной переменной. Только систему уравнений чаще составить легче, чем уравнение с одной переменной. Существует немало задач, которые удобно решать с помощью системы трёх уравнений с тремя переменными. Решим одну из них. Капитал в 10 000 грн. Г250 Глава 5 Решение. Обозначим искомые части капитала буквами х,у и Z. Хотите знать ещё б Составьте уравнение прямых, изображённых на рисунке 103. Найдите площади полученных участков. Найдите площади полученных участков. В цехе предприятия изготовляют две модели женской одежды. На изготовление первой модели расходуют 2 м ткани, на изготовление второй — 3 м. Затраты рабочего времени на производство этих моделей равны соответственно 4 и 5 ч. Известно, что недельный запас ткани составляет а м, а рабочее время ограничено t ч. Составьте такой план недельного изготовления этих моделей одежды, чтобы полностью использовать ресурсы ткань, рабочее время. Сколько уголя должна была добывать шахта еженедельно по плану? Систему уравнений: а решите графически; б любым способом. Поле площадью 80 га разделили на две части так, что площадь одной стала на 2 га больше половины площади второй. Найдите площадь каждой части. Систему уравнений: а решите графически; б любым способом. Поле площадью 100 га разделили на две части так, что площадь одной стала на 5 га меньше половины площади второй. Найдите площадь каждой части. Систему уравнений: а решите графически; б любым способом. Провод длиной 40 м разрезали на две части так, что одна из них оказалась на 4 м длиннее половины второй. Найдите длину каждой части. Систему уравнений: а решите графически; б любым способом. Провод длиной 50 м разрезали на две части так, что одна из них оказалась на 1 м короче половины второй. Найдите длину каждой части. Древнегреческий математик Диофант In в. Графический способ решения урав- нений одним из первых предложил выдающийся французский философ, ' математик, физик, физиолог Р. Он ввёл понятие переменной величины и удобную математическую символику. Декарт опубликовал работу «Размышления о методе», в которое описеш метод координат, связывающий алгебру с геометрией. Пользуясь этим методом, геометрические задачи можно решать алгебраиче- жими методами, а алгебраические — геометрическим. Это название произощло от латинизированного имени Декарта Карте;зий. Пару чисел, удовлетворяющую уравнение с двумя переменными, называют решением этого уравнения. Уравнение первой степени с двумя переменными имеет бесконечно много решений.